未解之谜：隐藏在海昏侯墓中的数学之谜

　　称1铢时，先拿出五枚5铢共25铢铜环权，放入右边的衡盘;再拿出1两(24铢)铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为1铢。

　　称2铢时，先拿出半两(12铢)铜环权，放入右边的衡盘;再拿出二枚5铢共10铢铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为2铢。

　　称3铢时，先拿出三枚5铢共15铢铜环权，放入右边的衡盘;再拿出半两(12铢)铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为3铢。

　　称4铢时，先拿出一两(24铢)铜环权，放入右边的衡盘;再拿出四枚5铢共20铢铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为4铢。

　　按照同样的方法，可以任意称1～24铢物体的重量(图10)。

图10

　　再看1～16两的称重方法。由于有1两、4两、8两和16两四种重量的铜环权，因此可以任意组合称1～16两之间的重量(图11)。下面以称3两、11两、14两为例，略加说明。

　　称3两时，先拿出4两铜环权放入右边的衡盘;再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为3两。

　　称11两时，先拿出4两和8两(半斤)的铜环权放入右边的衡盘;再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为11两。

图11

　　称14两时，先拿出16两(1斤)的铜环权放入右边的衡盘;再拿出两枚1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为14两。

　　据此，海昏侯墓出土的这套二千多年前的铜环权，设计十分科学，使用起来也是非常方便的。

　　五、标准量器制作的数学之答

　　海昏侯墓出土了几件有铭文的青铜器，非常珍贵，最典型的是昌邑籍田鼎(图12)，上面的铭文是：“昌邑籍田铜鼎，容十斗，

图12

　　重卌(xì,音细)八斤，第廿。”还有一件青铜鋗的铭文是：“昌邑食官铭，容十斗，重卅斤，昌邑□□年造。”另一件青铜鋗的铭文是：“昌邑食官铭，容四斗，重十三斤十两，昌邑二年造。”其中两件“容十斗”，一件“容四斗”，说明这三件青铜器在汉朝是标准的量器。

　　按照汉朝的量制规定，1斛=10斗，1斗=10升。1升相当于现在的200毫升。标准的量器形状有立方形的(包括长方形和正方形)，有圆柱形的，还有圆台形的。昌邑籍田鼎基本上属于圆柱形的，汉朝叫“圆堡疇”。这里面就有一个数学问题：如果昌邑籍田鼎的容积是10斗也就是1斛的话，那么，这个圆柱体高度和直径的尺寸应该各是多少呢?

　　这是一个比较复杂的数学问题，因为它在运算过程中涉及到乘方、开方和圆周率。好在汉朝史籍中已经给出了明确的答案。《汉书?律历志》说：嘉量“其法用铜，方尺而圜其外，旁有庣(tiāo,音挑)焉。”东汉时期的“新莽嘉量”上的铭文中记下了更加精确的数据：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”

　　这里，“方尺而圜其外”，是中国古代定圆的方法，即先确定一个正方形的尺寸，再作外接圆;“庣旁”是指从这个正方形的对角线顶端到外圆圆周线的距离;“冥”同幂，指圆的面积;“深”指圆柱体的高度;“积”，指量器的容积。

　　从汉朝史籍中给出的这个答案，我们可以推测出古代对于“圆堡疇”这种标准量器的计算方法。

　　第一步，先用勾股定理中以乘方和开方求弦的办法，计算出一尺(10寸)见方的对角线长度为14?1421356寸(图13)。

　　第二步，将方尺的对角线“庣旁”，两头各延长九厘五毫，即0?095×2寸，算出底部圆形直径为14?3321356寸，半径为7?1660678寸。

图13

　　第三步，用半径的平方乘以圆周率，即7?1660678的平方×π，得出“冥百六十二寸”，即底面积为162平方寸。