春秋战国

“民圣”墨子明确了十进制的数位理论

日期:2017-10-17 来源:故宫历史网 阅读:395次

谈起中国古代发明,大家耳熟能详的是中国的四大发明:造纸术、指南针、活字印刷和火药。其实,十进位制计数法,也是中国人的伟大发明之一。(延伸阅读:中国古代发明的一百个“世界第一”)

“民圣”墨子明确了十进制的数位理论
(“民圣”墨子雕像)

十进位制

十进位制是世界通用的主要记数法。现代人们无论是中国或世界,都运用1(或一)、2(或二)、3(或三)……10(或十)……100(或百)……1000(或千)等计数,即十进位计数。

可是,在古代并不是这样的。在古代世界,各个古文明民族出于生活、生产实践的需要,都先后独立地发明了数和数法。各古民族对数的表示和计数的方法是很不一样的:如古巴比伦发明用六十进位计数,古印度发明用六进位或八进位计数,美洲古代玛雅人发明用二十进位计数,古希腊、古罗马发明用五进位计数,中国古人和古埃及则分别独立地发明用十进位计数(古埃及的十进位计数法没有传承下来)。

古罗马的数字系统没有位值制,只有七个基本符号,如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制,但用的是二十进位;古巴比伦人也知道位值制,但用的是六十进位。二十进位至少需要十九个数码,六十进位则需要五十九个数码,这就使记数和运算变得十分繁复,远不如只用九个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。

中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就,在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为”最妙的发明之一”,确实是一点也不过分的。

创造十进位制这一方法,据说是受到了人有十个手指头的启示。早期的人类像今天的小孩和许多成年人一样,是扳着手指数数、记数的;把手掌当作算盘,把手指当作算筹筹码。

甲骨文中已出现十进位制

中国传统数学发展源远流长,对世界数学产生过重大影响。

数学概念产生在符号发明之前。中国何时出现用符号来表示数目无法确定。但根据现有的资料来看,至迟在半坡时代(约公元前4000年)已有数字符号。例如在半坡出土的陶器上发现了刻划的符号中就包含了数目字,在陕西姜寨出土的陶器上也有数字符号。因此,中国人在公元前4000年至少掌握了三十以内的自然数,并且是用十进位制记数的。

大约过了2500年左右,到了商代(公元前1400年)已形成了刻在甲骨上的汉字系统。根据中国商代甲骨文的记载,在公元前14世纪前后(即距今约3300年前)中国已有相当完善的十进位计数法。甲骨文中有一至九的记载,有十、百(为十个十)、千(为十个百)、万(为十个千)的记载,最大的数为”三万”。

又据笔者对成于公元前11—前6世纪的《诗经》中数字研究:一至九的数在104首诗篇中出现264次:数位字在殷商时代十、百、千、万的基础上,又出现”亿”、”秭”,这六个数位字在67首诗篇中出现155次,其中数位字”十”在9首诗篇中出现17次。唐代学者孔颖达在《诗经正义》指出,”亿之数有大小二法:其小数以十为等,十万为亿,十亿为兆也;其大数以万为等,万至万是万万为亿,又从数亿至万亿为兆,亿亿曰秭”。可见无论是大法、小法都是十进位制;《诗经·豳风·七月》篇则是世界上最早的数字化诗篇,它用一至十的数字科学地表达了一年每一个月的农事和物候,复旦大学教授、《诗经》研究家陈子展认为该诗篇成于周初(公元前11世纪),但反映的内容是周民族形成早期——先周公刘时代即公元前17世纪晚期的事,因此早在公元前17世纪中国已有相当完善的十进位计数法。

据《中国大百科全书·考古学》载,安阳殷墟出土了商代的骨尺和牙尺,尺面上有相当于”寸”、”分”的刻度表示,它们都是十进位的,说明当时十进位制记数法与社会生活有着密切的联系:一方面,由于社会生活需要提高度量衡的精度,要求不断划小度量衡的单位;另一方面,它简便适用,在实际生活中得到广泛应用。

在公元前30年前后的《墨经》中,《墨子·经下》有”一少于二而多于五,说在建馋”的记载。显而易见,此处所讲的内容是和十进位制记数法有关。而十进制记数法过渡到十进位值制记法与筹算的创立有着密切的关系。

数字的发展必然有计算,计算就需要某种方法和工具。算筹一般是用小竹棍(或其他材料制成的棍),后来也称算子。筹算是一种用算筹进行计算,筹算起源于何时,无法确定,但可以肯定它是起源很早,至迟到春秋战国时(约公元前300年)人们已经能熟练地运用算筹进行计算。筹算作为中国古代的计算工具,是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。它与十进位值制记数法相结合,形成了我国独具特色的算法化的数学体系。十进位制算筹记数法是中国古代数学的一项独特的创造。一直到十五世纪中叶珠算产生之前,筹算是中国古代数学的主要计算工具,它也是中国古代数学的一大特色,中国古代数学正是在筹算基础上发展起来的。

《易经》中更有”万有一千五百二十”这样的记载。甲骨文的计数方式一直延续到现代。现代中国数字一二三四五六七八九○,在唐代以前就已经形成,唐代还全面使用了大写数字壹贰叁肆伍陆柒捌玖零,用在比较正规的场合,又叫做”官文书数字”。在确立了十进位制之后,古代中国还对数的概念进行了扩展,创造出了分数、小数、负数的概念,虽然分数线、小数点、负号不是中国的发明,但是对数的性质的认识,对数的概念的拓展,还是古代中国的天才创造。

李约瑟教授指出:”在西方后来所习见的‘印度数值’的背后,位值制早已在中国存在两千年。”

十进位制向世界传播

中国发明的十进位制在对外交往中,东传韩国、日本,南传越南等东南亚国家;丝绸之路开通后,又传南亚、中亚等国。古代印度于公元5世纪改用十进位制计数法,并在8世纪传至古代阿拉伯,9世纪由古代阿拉伯再传至欧洲,15世纪末、16世纪早期由欧洲传至美洲,以后又传入非洲、大洋洲。因此,在欧美把十进位制称为印度—阿拉伯数系或阿拉伯数系,《大英百科全书》(又称《不列颠百科全书》)等书籍至今这样称呼。这是有失公道的,因为最早发明十进位制的是中国。

十进位制记数法西传欧洲,又传美洲、大洋洲、非洲,由于它较其他记数法实用、好用,且便于高速计算、复杂计算,很快风靡全球,取代其他记数法,成为当今世界各国、各地区、各民族所公认的标准记数法;十进位制记数法的西传,使短于计算、长于公理化和演绎的欧洲数学克服原有的弱点,加速发展,形成初等数学,后发展为高等数学(以微积分的出现为标志),并从古代科学中发展出近现代数学,至今在世界上形成具有100多个分支学科的数学学科体系。

十进位制计数法的西传,在世界上普遍地采用,大大地促进了欧美和世界各国社会、经济、科教、文化等各个方面的交流与发展,英国著名学者李约瑟指出:如果没有中国发明的”十进位制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界”。

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